V diskuzi pod mým předchozím blogpostem se objevila zajímavá reakce učitelské autority, pana Oldřicha Botlíka. Protože bych na ni rád odpověděl, ale přitom se při své psavosti nevejdu do omezení tisíce znaků a navíc je odpověď částečně mimo téma minulého textu, je tu další post.
Pan Botlík se mne (zestručněno, originál zde) ptá, zda mi stačí, že žák-maturant umí složený zlomek upravit mechanicky, s tím, že on by raději, když to sice nezná, ale je schopen vymyslet a vysvětlit. A nemluvíme teď o těch, kteří z matematiky maturují, ti by si měli se složeným zlomkem poradit automaticky nebo neodmaturovat (což mimochodem tolik diskutovaná společná maturita z M nejspíš stejně nezajistí), jde nám o nematuranty.
Krátká odpověď na začátek: ano, stačí mi to (mechanicky), to druhé je pěkné a není to to, co chci. To pro ty, kteří se chtějí zděsit mých předpotopních názorů, případně rovnou vrhnout do plamenné diskuze. Nyní trocha argumentace pro ty, kteří vydrželi:
Můj minulý článek je samozřejmě trochu provokující – použil jsem slovo dril, a také jsem jeho význam malinko rozšířil, jenže text s názvem „Každé učivo je třeba procvičit“ by jen těžko někdo četl, ač jde do značné míry o totéž. Základní premisa, a z té neustoupím, zní „Kognitivní kapacita mysli je omezená a nesmí se jí plýtvat na zbytečnosti“. Jinými slovy, nelze se soustředit na mnoho věcí najednou. Pokud musím spotřebovávat „výpočetní výkon“ na to, abych myslel na úpravu zlomku, ztrácím ze zřetele hlavní linku problému. A až budu dělat krok zpět k vlastnímu problému, budu se na něj muset znovu naladit. Jsou i typy studentů, kteří by nejradši brali do ruky kalkulačku na výpočet 6 × 7 … překvapí někoho, že se dobře nesoustředí na řešený problém, kde se oněch 6 × 7 vyskytlo, a typicky ho nestihnou? A pomohlo by jim nějak, kdyby si uměli v klidu vyargumentovat, proč to musí být právě 42 a ne žádné jiné číslo?
Totéž platí pro složený zlomek. Jsme v reálném světě, kdy je potřeba kvůli návaznosti na jiné předměty, kvůli závazným studijním plánům, státním maturitám i rozličným přijímacím zkouškám naučit studenty rozumět některým problémům a naučit je spolehlivě řešit některé typy úloh. Takový složený zlomek vyleze každou chvíli někde mezi kombinačními čísly a statistikou, nebo třeba jen při hloupé zkoušce řešení rovnice, ve které vyšlo, že x = 15/16 (a také ve fyzice při hledání obecného řešení atd. atd.) Z pohledu správného řešení úlohy je úplně jedno, zda student provede úpravu vědomě s tím, že si pro sebe argumentuje, proč se složený zlomek upravuje právě a jedině tak, nebo to vykoná mechanicky. Z pohledu efektivity mám dobrý důvod se domnívat, že druhý přístup je na tomto místě výhodnější, protože student neopustí linku původního problému a soustředí se plně na něj místo odskoku do algebry sedmé třídy.
Úprava složeného zlomku je mojí optikou totéž, co násobilka, jen o jednu úroveň výše – něco, čemu je dobré a přirozené rozumět, ale pro praktickou aplikaci je porozumění málo, je třeba cvik. Mimochodem další takové úkony najdete snadno, opět o úroveň či dvě výš – třeba logaritmování, derivování nebo integrace. Pravidla příslušných operací je dobré odvodit z definice, ale pro vlastní výpočty je odvození ve většině případu k ničemu, zato je ale potřeba příslušnou činnost ovládat a dělat to s dostatečnou rychlostí a efektivitou.
Tolik k první polovině: proč je dobré umět upravit složený zlomek mechanicky. Pan Botlík v další části své reakce zmiňuje, že má ambici, cituji: „ …kdyby (žák) dokázal ten postup vymyslet a zdůvodnit (tj. vysvětlit, proč to musí být přesně tak, jak se to správně dělá). Ne u maturity, tedy ve stresu, ale v klidu – třeba při doučování sedmáka…“
Souhlasím, že je tohle ideální stav z pohledu porozumění matematice v ideálním světě, kde se všichni dokáží dostat do hloubi matematiky. Já se na něj ale dívám jiným pohledem. To, co kolega Botlík popisuje, je ve své podstatě schopnost podat důkaz platnosti věty. Jenže dokazování vět je něco, co je znakem mistra. Nováček v oboru se jen zoufale dívá kolem sebe, sbírá drobty toho, co mu předkládáme, a po malých doušcích absorbuje, jak funguje náš prapodivný svět čísel a především symbolů. Postupem času se v něm zorientuje natolik, aby nejen rozuměl symbolům, ale dokázal řešit i problémy. A teprve mistr je na té úrovni, kdy dokáže odvozovat nová tvrzení a vytvářet důkazy svých hypotéz.
Já ale neučím mistry. Učím lidi, kteří se s matematikou budou setkávat, a přitom v naprosté většině nebudou matematiky. Budou uživateli matematiky a já bych rád, aby byli uživateli úspěšnými. K tomu nepotřebují umět každý postup, který použijí, vymyslet, zato ho ale musí umět provést spolehlivě a to v rozumné době (třeba už proto, že jim za jejich práci jinak nikdo nezaplatí).
Srdcem jsem fyzikář, ne matematik, a neočekávám od svých studentů, že oni budou matematiky. Neprovozuji matematiku pro matematiku, je suchá a neživotná. V mých očích je matematika chytré nářadí , které potřebuji k tomu, abych rozuměl světu kolem sebe, ale pořád je to nářadí. Je dobré mu rozumět, hlavně je ho ale potřeba umět používat.
Matematika pomáhá formulovat přírodní zákony (v čisté formě vzorců třeba ve fyzice), matematika umožňuje analyzovat data (i ve vědách společenských, protože všechny, které si zasluhují název „věda“, ve svém srdci stojí na matematice, ať už jde o logiku u práva či statistiku u sociologie a psychologie, které by bez ní byly jen pojmo- a dojmologiemi. I v lingvistice se dnes ve velkém algoritmizují gramatiky a učí počítače mluvit lépe, než my atd. atd.) a dělat předpovědi, matematika je prostě společný jazyk všech věd. Matematika dělaná jen pro matematiku je záležitost, která patří za zdi teoretických ústavů příslušných matematických fakult. Je stejně užitečná a fascinující jako každý jiný základní výzkum, ale není to to, co by měli plošně provozovat středoškoláci. Důkazy vět nechme těm, kteří půjdou na vysokou školu s teoretickou matematikou – koneckonců i budoucím inženýrům většinou stačí výpočtová úspěšnost a důkazy se nezkouší.
Nemám rád nejvyšší úroveň univerzalizace matematiky – systém suchopárně sterilních, od reality odtržených abstraktních vět s co nejširším záběrem (u kterých nikdo na první až třetí přečtení netuší, co to vlastně má říkat), ke kterým následuje nicneříkající obecný důkaz (v 99% případů nesouvisející se skutečným používáním oné věty). Zvládl jsem Matfyz a tím jsem s nimi skoncoval. Mně osobně přijde matematika zajímavá až ve chvíli, kdy k něčemu je, kdy je aplikovaná. Opravdu fascinující je teprve tehdy, když dokáže dávat odpovědi na otázky jako „Kdy to bude hotové?“, „O kolik zvýšíme výnosy, když…?“, „Kolik lidí dokážeme oslovit?“, „Je opravdu možné, aby z toho okna vypadl a dopadl sem?“, „Vydrží tenhle most přejezd tanku?“, „Nestačilo by vézt o třetinu méně paliva?“, „Co se stane, když snížíme tuhle koncentraci na polovinu?“. Pokud jsem to dokázal, vždycky jsem ve svých hodinách hledal konkrétní aplikace věcí, které jsme probírali, zajímavosti, chyby, kterých se lidé dopustili, protože tohle nevěděli či spletli (i když tohle se týká spíš fyziky). Jenže všechny tyhle věci vyžadují určitou matematickou zdatnost – ani ne tak schopnost vysvětlit každý krok a podkrok, ale prostou dovednost je provést, aniž by jednoho zatěžovaly.
Možná si teď říkáte: „Jak tenhle člověk může učit matematiku? Vždyť rovnou přiznává, že není matematik nadšenec, dokonce ani nemá rád matematiku tak, jak ji matematikové budují!“ Inu, může. Dokonce má tolik sebevědomí, že si myslí, že to nedělal úplně špatně (teď mám trochu timeout od učení téhle věkové kategorie, jsem totiž ponořen do 0-5 let).
Snažil jsem se být vždycky v roli toho, kdo pomáhá studentům proniknout do světa, kteří si ti divní matematikové vybudovali, a přesvědčit je, že v tom pronikání jsme spolu. Věřím dokonce, že se mi podařilo docela dost lidí přesvědčit o tom, že nemusí sice být zrovna matematiky, ale matematika je věc užitečná, kterou stojí za to se zabývat a je dobré ji do nějaké míry ovládat, protože může poskytovat i řadu zajímavých tvrzení a odpovědí. Aspoň podle toho, co mi říkají, když se nějakou dobu po maturitě při různých příležitostech setkáváme, mám pocit že jsem nebyl tak úplně neúspěšný.
